Titres et résumés

Colin Faverjon, La méthode de Siegel-Shidlovskii pour l'étude des valeurs de E-fonctions

Dans le but d’étendre les travaux de Hermite, Lindemann et Weierstrass, Siegel a introduit, à la fin des années 1920, la notion de E-fonctions. Ces fonctions, définies comme des séries entières holonomes à coefficients algébriques, satisfont des conditions arithmétiques analogues à celles de la série exponentielle. L’enjeu consiste à analyser les relations linéaires et algébriques entre leurs valeurs en des points algébriques, et à démontrer que ces relations trouvent leur origine dans la structure fonctionnelle elle-même.

Cette théorie atteint un premier aboutissement en 1959 avec le théorème de Siegel-Shidlovskii, qui établit une égalité entre le degré de transcendance des valeurs d’un système de E-fonctions en un point algébrique régulier et celui des fonctions elles-mêmes. Ce n’est qu’en 2006 que Beukers apporte un renforcement qualitatif à ce résultat, en démontrant que, dans ce cadre, toute relation entre les valeurs s'obtient par spécialisation d'une relation entre les fonctions.

Cependant, pour formuler des énoncés valables pour toute E-fonction en tout point algébrique non nul, ces deux résultats s’avèrent insuffisants. La pièce manquante est un résultat d'André (2000) qui établit que toute E-fonction est solution d’une équation différentielle sans singularité autre que 0 et l’infini. Plusieurs travaux récents ont alors permis de dresser un portrait précis des propriétés algébriques des valeurs de E-fonctions.

Ce mini-cours vise à exposer la méthode initiée par Siegel, en détaillant comment elle conduit aux trois théorèmes fondamentaux (Siegel-Shidlovskii, Beukers, André). Nous expliquerons ensuite comment ces résultats fondent les avancées récentes dans ce domaine.